Stammfunktion von sin(x)^2

Leider wird den Schülern heutzutage ein Bruchteil von dem gelehrt, was früher noch zu lernen war. Häufig wird auf den Taschenrechner, den Computer oder die Formelsammlung verwiesen. Diese Entwicklung hat auch den Vorteil, dass man weniger rechnet und mehr am tatsächlichen Aufgaben-Lösen arbeiten kann. Dennoch stelle ich immer wieder fest, dass die meisten Schüler doch irgendwie zufriedener mit sich selbst sind und auch stolz auf sich, wenn sie eine Aufgabe alleine von Hand richtig gelöst haben.

Die Schulbücher haben sich auch dementsprechend verändert. Häufig wird nur noch angedeutet wie etwas genau funktioniert oder woher eine gewisse Formel kommt und teilweise werden wichtige Dinge in einem Nebensatz erwähnt. So auch beispielsweise, dass man eine Stammfunktion von einer verketteten Funktion nur dann mit der in gewisser Weise “umgedrehten Kettenregel” (es wird nicht mit der inneren Ableitung multipliziert, sondern durch diese geteilt) bilden kann, wenn die innere Funktion linear ist (d.h. z.B.: Innere Funktion = 2x+1). Ist die innere Funktion nicht linear, müssen die Schüler von heute in der Formelsammlung nach der Stammfunktion suchen und hoffen, dass die gefragte Funktion aufgeführt wird.

Von einer Funktion, deren innere Funktion nicht linear ist, in diesem Fall sogar eine trigonometrische Funktion (sin(x)) ist,

f(x)= sin(x)^2

möchte ich hier einmal ausführlich eine Stammfunktion bilden – mit Hilfe der partiellen Integration.
Alle Stammfunktionen erhält man durch Verschiebung in y-Richtung, d.h.

F(x)=1/2 (x – sin(x) cos(x) ) + c

So soll man einmal sehen wie man auch eine verkettete Funktion oder ein Produkt aus zwei Funktionen (in diesem Fall läuft es auf dasselbe hinaus) von Hand integrieren kann. Viel Spaß damit!

3 Kommentare

  1. Eine weitere Loesung sagt:

    In der Tat reicht auch die lineare Substitution aus, wenn man Additionstheoreme kennt: Es ist cos(2*x) = cos(x+x) = cos(x)*cos(x) – sin(x)*sin(x). Dies gibt einem schon eine Beziehung zwischen cos(2x) und sin^2(x), hat aber noch einen störenden cos^2(Term). Der ist aber einfach mit sin^2(x) + cos^2(x) = 1 eliminiert. Denn cos^2(x) – sin^2(x) = cos^2(x) + sin^2(x) – 2*sin^2(x) = 1 – 2*sin^2(x). Damit sin^2(x) = 1/2(1-cos(2x)). Mit linearer Substitution lässt sich der rechte Ausdruck elementar integrieren.

  2. Janine sagt:

    Hi du!

    Nimm es mir nicht übel, aber ich verstehe nur Bahnhof. Die Sinus und Cosinus Sache habe ich nie gecheckt. Als das mal eingeführt wurde, war ich krank, und ab da verließen sie mich diesbezüglich.
    Schlimmer war nur noch der Logarithmus. ;-p

    Aber einem Mathematiker, oder einem Abiturienten, mag das echt weitergeholfen haben. Ich bin froh, dass ich noch weiß, was ein Integral ist und wie ich ableite. Auch wenn ich nichts von beidem jemals wieder benötigt hätte. Aber das kann ich sagen: ich habe genau dieses Rechnen geliebt. Dabei kann man nämlich sein Hirn ausschalten. ;-)

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.

Um die Übersicht über Kommentare zu behalten und Missbrauch zu verhindern, speichert diese Website Name, E-Mail, Kommentartext sowie IP-Adresse und Zeitstempel deines Kommentars. Detaillierte Informationen dazu findest du in der Datenschutzerklärung.Eine kleine Rechenaufgabe vorab: *