Category Archives: Tipps und Tricks

FAZ

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Durch einen netten Hinweis hatte ich heute meinen SpaĂź auf der Webseite der FAZ. Dort gibt es ein Formular, in das man einen selbstgeschriebenen oder auch fremden Text kopieren kann und dann wird analysiert, welchen Schreibstil dieser Text aufweist.

Ich habe probeweise einmal verschiedene AuszĂĽge meiner Staatsexamensarbeit eingegeben. Herausgekommen ist, dass ich wie Hegel, Nietzsche oder Freud schreibe – zumindest was die Stichproben betrifft, die ich eingegeben habe.

Von Enzensbergers „ZugbrĂĽcke“ habe ich auch ein paar VersatzstĂĽcke hineinkopiert. Dabei kam heraus, dass er wie Hegel, oder auch mal wie Goethe schreibt.

Es ist schon sehr lustig, Texte von sich dort einzugeben und zu bemerken, welche Vielfalt doch in einem steckt ;)
Mein Blog ist ĂĽbrigens auch eine Mischung aus Nietzsche und Freud, wobei aber auch teilweise der Schreibstil von Goethe vorhanden ist – sehr lustig!

Wer es selbst einmal testen will, hier ist der Link:

http://www.faz.net/f30/aktuell/WriteLike.aspx

Viel SpaĂź damit! Aber schaut auf die Uhr – man kann damit wirklich Zeit verbringen ;)

Kurvendiskussion

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Ich habe mir als SchĂĽler nie merken können, wann man denn nun die erste oder die zweite Ableitung Null setzt, um etwas ĂĽber Extremwertstellen oder Wendepunkte herauszufinden, geschweige denn, was man zusätzlich noch ĂĽberprĂĽfen muss. Und seien wir doch mal ehrlich: Sich das in einer Klausur ewig zu ĂĽberlegen – dafĂĽr hat man schlichtweg keine Zeit.

Deshalb wollte ich hier einmal mit euch, und vor allem mit allen, die kurz vor ihrem Abitur stehen, das kleine Merkbild teilen, das uns damals unser Mathelehrer gegeben hat. Ich verwende es heute noch, um schnell zu schauen, welche Ableitung ich fĂĽr welche ĂśberprĂĽfung brauche:

Ich denke, dass man sich anhand von diesen drei kleinen Bildchen recht schnell Folgendes klar machen kann:

Extremwerte:

Notwendige Bedingung:

Hat die Funktion an der Stelle x* einen Extremwert, so ist an der Stelle x* ihre erste Ableitung gleich Null.

Hinreichende Bedingung:

Ist die zweite Ableitung an der Stelle x* kleiner als Null, also negativ – bzw. die erste Ableitung hat dort einen Vorzeichenwechsel von + nach -, dann ist der Extremwert ein Maximum.

Ist die zweite Ableitung an der Stelle x* größer als Null, also positiv – bzw. die erste Ableitung hat einen Vorzeichenwechsel von – nach +, dann ist der Extremwert ein Minimum.

Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:

Hat die Funktion an der Stelle x* einen Wendepunkt, so ist an der Stelle x* ihre zweite Ableitung gleich Null.

Hinreichende Bedinung:

Ist die dritte Ableitung an der Stelle x* ungleich Null, so hat die ursprĂĽngliche Funktion an der Stelle x* mit Sicherheit einen Wendepunkt.
(In unseren Beispielbildern fehlt das Bild der dritten Ableitung. Sie wäre  eine Konstante, also eine Gerade, die oberhalb der x-Achse parallel zur x-Achse verläuft, z.B.: y=1, da die zweite Ableitung in dem Bild eine konstante, positive Steigung hat)

Mathematik zum Valentinstag

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Man könnte vielleicht poetisch sagen, dass das Möbiusband das Band der Liebe ist. Denn dadurch, dass man es unendlich oft beidseitig auf einmal umfahren kann (im Gegensatz zu einem normalen Kreisband, bei dem man absetzen muss, um auf die andere Seite zu gelangen) ist es gewissermaßen ein Symbol für die Ewigkeit bzw. Unendlichkeit der Liebe.
Eine solche unendliche und ewig währende Liebe zu finden, wünscht sich wohl jeder und besonders am Valentinstag will man dieser Liebe, wenn man glaubt, sie gefunden zu haben, zeigen wie sehr man sie liebt.

Also warum nicht das Möbiusband – dieses Band der Liebe – zu Hilfe nehmen?

Die Vorgehensweise ist denkbar einfach, das Ergebnis aber umso erstaunlicher – wie so oft in der Mathematik.

Als erstes nehme man zwei gleich groĂźe Streifen Papier:

Diese beklebe man wie auf dem Bild mit doppelseitigem Klebeband – so muss man nicht warten, bis der Klebstoff trocknet und kann auch festeren Karton verwenden.

Dann forme man aus dem einen Streifen ein Möbiusband, d.h. man verdreht einmal den Streifen in sich selbst und klebt ihn dann zusammen:

!!!!!!!!!!!!!!!  Und jetzt kommt der wichtige Teil  !!!!!!!!!!!!!!!!!

Der zweite Streifen muss ein entgegengesetztes Möbiusband ergeben!!!!!

Die Symbolik ist hier wieder einmal unverkennbar schön: Die Möbiusbänder dürfen natürlich nicht gleich sein, Mann und Frau sind es ja schließlich auch nicht. Zusammen ergeben sie aber gerade aufgrund ihrer Unterschiede etwas unsagbar schönes :)

Hat man also die zwei unterschiedlichen Möbiusbänder, so klebt man auf eine Verbindungsfläche ein größeres Stück doppelseitiges Klebeband:

Dann klebt man das andere Möbiusband so darauf fest, dass sie sozusagen ein Kreuz bilden:

Daraufhin schneidet man die Bänder der Länge nach durch:

Hat man das eine Band ringsherum durchgeschnitten, sieht es dann etwa so aus:

Dann macht man mit dem zweiten Band genau dasselbe:

Und hat dann schlussendlich so etwas:

Legt man das dann entsprechend auf den Tisch oder hält es richtig hoch:

VoilĂ : Zwei Herzen fĂĽr den Valentinstag.

NatĂĽrlich sind diese Herzen vielseitig einsetzbar. So beispielsweise fĂĽr den Muttertag, fĂĽr Hochzeiten oder Geburtstage oder auch generell in der Schule, um etwas Liebe fĂĽr die Mathematik zu verbreiten :)

PS: Gesehen habe ich diese Bastelei einmal auf einem Vortrag von Prof. Beutelspacher. In seinem Buch „Wie man durch eine Postkarte steigt“ beschreibt er diese Bastelei auch noch einmal – jedoch, wie ich finde, natĂĽrlich nicht so schön wie hier ;)