![\"\"](\"https:\/\/www.cordulamaier.de\/wp-content\/uploads\/2010\/06\/MatheElfeklein.jpg\" "\\"MatheElfeklein\\"")
Man denkt ja immer, die Mathematik sei logisch. Dabei gilt es zu beachten, dass Logik nicht unbedingt etwas mit gesundem Menschenverstand zu tun hat. Und das ist auch gut so – niemand wollte einen nur logisch denkenden Menschen. Aber nur logisch ist die Mathematik auch nicht – und das mag vielen neu erscheinen. Sie ist wie eine kleine (oder gro\u00dfe) Phantasiewelt, in der alles m\u00f6glich ist.
\nHier also ein paar Exkurse ins Wunderland, mit dem ich mich gerade vertraut mache:<\/p>\n
Ich finde es immer wieder am\u00fcsant manchen Verwandten zu erkl\u00e4ren, dass es tats\u00e4chlich parallele Geraden gibt, die sich doch tats\u00e4chlich entgegen jeder Erwartung schneiden. Unter bestimmten Bedingungen schneiden sie sich wirklich, obwohl zumindest in der Schule parallele Geraden meistens dadurch klassifiziert werden, dass sie sich eben nicht schneiden. Oder pl\u00f6tzlich schneiden sich Diagonalen eines Parallelogramms auf einmal nicht mehr, die sich zumindest in der Schule immer schneiden w\u00fcrden.<\/p>\n
Wo schneiden sich Parallelen? Im Unendlichen bzw. mathematischer gesprochen, schneiden sich parallele Geraden immer in einer projektiven Ebene – dort\u00a0 haben je zwei Geraden immer! einen Schnittpunkt. Noch genauer, w\u00fcrde man sagen, dass sie sich auf der Ferngeraden einer projektiven Ebene schneiden. Einzusehen ist dieser projektive\/im Unendlichen liegende Schnittpunkt ja eigentlich schon: Betrachtet man einmal zwei parallel verlaufende Eisenbahnschienen, die bis in den Horzont hinein immer gerade aus gehen, dann erscheint es f\u00fcr das Auge auch so, als ob sie sich da ganz weit hinten schneiden w\u00fcrden.<\/p>\n
![\"\"](\"https:\/\/www.cordulamaier.de\/wp-content\/uploads\/2010\/06\/Parallele-Geraden-Lokomotive.jpg\" "\\"Parallele")
<\/a>Parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen.<\/p><\/div>\n
So etwas verwirrt vielleicht manchen Sch\u00fcler, aber das sollte eigentlich kein Grund sein, es nicht auch einmal anzusprechen – im Gegenteil. Meistens verankert sich doch Merkw\u00fcrdiges umso besser im Gehirn. Warum hie\u00dfe es sonst wohl merk-w\u00fcrdig?<\/p>\n
Wann sich Diagonalen eines Parallelogramms nicht schneiden, ist schon schwerer zu erkl\u00e4ren – zumindest wenn man schon einmal davon ausgeht, dass nicht jeder wei\u00df, was ein Parallelogramm ist. Also, ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegen\u00fcberliegende Seiten parallel sind – hier werden die Paralleln vorher abgeschnitten, bevor sie sich im Unendlichen schneiden k\u00f6nnen ;)<\/p>\n
<\/a>Ein Parallelogramm mit Diagonalenschnittpunkt.<\/p><\/div>\n
Die anderen vier Schnitttpunkte sind da interessanter. Denn die gibt es wenigstens – ganz im Gegenteil zu dem Diagonalenschnittpunkt. Zumindest kommt der unter bestimmten Bedinungen nicht vor. Beispielsweise wenn man sich in einem K\u00f6rper der Charakteristik\u22602 befindet – dort gibt es kein 1\/2 (da hier 2=0 ist und durch Null darf man ja bekanntlich nicht teilen). Dadurch, dass es kein 1\/2 gibt, k\u00f6nnen sich die Diagonalen eines Parallelogramms nicht wie gew\u00f6hnlich in der Mitte halbieren – also schneiden sie sich nicht.<\/p>\n
Ein anderes – meiner Meinung nach abstrakteres, aber auch anschaulicheres Beispiel w\u00e4re die kleinste affine Ebene. Diese besteht nur aus 4 Punkten und die Geraden in dieser Ebene, sehen Gerden eigentlich kaum mehr \u00e4hnlich, sondern sehen eher wie Bl\u00f6cke aus.<\/p>\n
<\/a>Die kleinste affine Ebene.<\/p><\/div>\n
Die Gerade\/Bl\u00f6cke, die die Diagonalen darstellen, schneiden sich nicht in der Mitte, da die Ebene, in der sie sich befinden, wie gesagt, nur aus 4 Punkten besteht. Der Diagonalenschnittpunkt w\u00e4re der 5. Punkt und den gibt es nicht, also schneiden sie sich nicht.<\/p>\n
<\/a>Die kleinste affine Ebene in Kurzdarstellung.<\/p><\/div>\n
Und nun noch etwas lustiges zum Schluss:<\/p>\n
Es gibt auch Geraden, die aussehen, als w\u00fcrden sie sich schneiden, in Wirklichkeit aber parallel sind. Dieser Fall l\u00e4sst sich in der hyperbolischen Ebenen beobachten.<\/p>\n