Kurvendiskussion

Ich habe mir als Schüler nie merken können, wann man denn nun die erste oder die zweite Ableitung Null setzt, um etwas über Extremwertstellen oder Wendepunkte herauszufinden, geschweige denn, was man zusätzlich noch überprüfen muss. Und seien wir doch mal ehrlich: Sich das in einer Klausur ewig zu überlegen – dafür hat man schlichtweg keine Zeit.

Deshalb wollte ich hier einmal mit euch, und vor allem mit allen, die kurz vor ihrem Abitur stehen, das kleine Merkbild teilen, das uns damals unser Mathelehrer gegeben hat. Ich verwende es heute noch, um schnell zu schauen, welche Ableitung ich für welche Überprüfung brauche:

Ich denke, dass man sich anhand von diesen drei kleinen Bildchen recht schnell Folgendes klar machen kann:

Extremwerte:

Notwendige Bedingung:

Hat die Funktion an der Stelle x* einen Extremwert, so ist an der Stelle x* ihre erste Ableitung gleich Null.

Hinreichende Bedingung:

Ist die zweite Ableitung an der Stelle x* kleiner als Null, also negativ – bzw. die erste Ableitung hat dort einen Vorzeichenwechsel von + nach -, dann ist der Extremwert ein Maximum.

Ist die zweite Ableitung an der Stelle x* größer als Null, also positiv – bzw. die erste Ableitung hat einen Vorzeichenwechsel von – nach +, dann ist der Extremwert ein Minimum.

Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:

Hat die Funktion an der Stelle x* einen Wendepunkt, so ist an der Stelle x* ihre zweite Ableitung gleich Null.

Hinreichende Bedinung:

Ist die dritte Ableitung an der Stelle x* ungleich Null, so hat die ursprüngliche Funktion an der Stelle x* mit Sicherheit einen Wendepunkt.
(In unseren Beispielbildern fehlt das Bild der dritten Ableitung. Sie wäre  eine Konstante, also eine Gerade, die oberhalb der x-Achse parallel zur x-Achse verläuft, z.B.: y=1, da die zweite Ableitung in dem Bild eine konstante, positive Steigung hat)

Mathematik zum Valentinstag

Man könnte vielleicht poetisch sagen, dass das Möbiusband das Band der Liebe ist. Denn dadurch, dass man es unendlich oft beidseitig auf einmal umfahren kann (im Gegensatz zu einem normalen Kreisband, bei dem man absetzen muss, um auf die andere Seite zu gelangen) ist es gewissermaßen ein Symbol für die Ewigkeit bzw. Unendlichkeit der Liebe.
Eine solche unendliche und ewig währende Liebe zu finden, wünscht sich wohl jeder und besonders am Valentinstag will man dieser Liebe, wenn man glaubt, sie gefunden zu haben, zeigen wie sehr man sie liebt.

Also warum nicht das Möbiusband – dieses Band der Liebe – zu Hilfe nehmen?

Die Vorgehensweise ist denkbar einfach, das Ergebnis aber umso erstaunlicher – wie so oft in der Mathematik.

Als erstes nehme man zwei gleich große Streifen Papier:

Diese beklebe man wie auf dem Bild mit doppelseitigem Klebeband – so muss man nicht warten, bis der Klebstoff trocknet und kann auch festeren Karton verwenden.

Dann forme man aus dem einen Streifen ein Möbiusband, d.h. man verdreht einmal den Streifen in sich selbst und klebt ihn dann zusammen:

!!!!!!!!!!!!!!!  Und jetzt kommt der wichtige Teil  !!!!!!!!!!!!!!!!!

Der zweite Streifen muss ein entgegengesetztes Möbiusband ergeben!!!!!

Die Symbolik ist hier wieder einmal unverkennbar schön: Die Möbiusbänder dürfen natürlich nicht gleich sein, Mann und Frau sind es ja schließlich auch nicht. Zusammen ergeben sie aber gerade aufgrund ihrer Unterschiede etwas unsagbar schönes :)

Hat man also die zwei unterschiedlichen Möbiusbänder, so klebt man auf eine Verbindungsfläche ein größeres Stück doppelseitiges Klebeband:

Dann klebt man das andere Möbiusband so darauf fest, dass sie sozusagen ein Kreuz bilden:

Daraufhin schneidet man die Bänder der Länge nach durch:

Hat man das eine Band ringsherum durchgeschnitten, sieht es dann etwa so aus:

Dann macht man mit dem zweiten Band genau dasselbe:

Und hat dann schlussendlich so etwas:

Legt man das dann entsprechend auf den Tisch oder hält es richtig hoch:

Voilà: Zwei Herzen für den Valentinstag.

Natürlich sind diese Herzen vielseitig einsetzbar. So beispielsweise für den Muttertag, für Hochzeiten oder Geburtstage oder auch generell in der Schule, um etwas Liebe für die Mathematik zu verbreiten :)

PS: Gesehen habe ich diese Bastelei einmal auf einem Vortrag von Prof. Beutelspacher. In seinem Buch “Wie man durch eine Postkarte steigt” beschreibt er diese Bastelei auch noch einmal – jedoch, wie ich finde, natürlich nicht so schön wie hier ;)

Prozente ausrechnen einfach gemacht

Wie man etwas in Prozent umrechnet oder umgekehrt einen prozentualen Anteil in beispielsweise Euro umrechnet, ist den meisten Menschen bis heute nicht wirklich klar. Das liegt meiner Meinung nach vor allem daran, dass sie sich nie die Zeit genommen haben, es einmal selbst zu verstehen. Inzwischen hat beinahe jeder Taschenrechner eine Prozent-Taste oder die Einkaufshäuser geben den Rabatt schon gar nicht mehr in Prozent an, sondern sagen beispielsweise, dass das jeweilige Stück  um 5 Euro billiger ist.

Fragt man jemanden, der selbst Prozente ausrechnen kann, nach einer Erklärung warum er das so macht, ist diese meistens ziemlich kompliziert, weil sich eben kaum jemand einmal wirklich überlegt hat, warum man Prozente so ausrechnet, wie man sie ausrechnet – oft auch die Leute nicht, die es ausrechnen können. Die Erklärung beginnt meistens mit einem Dreisatz. Aber mal ehrlich: Wer fängt schon in einem Laden damit an sich jetzt wirklich den Dreisatz zu überlegen?

Ich habe unten eine Erklärung aufgeschrieben, von der ich meine, dass sie einfacher von der Vorstellung ist und, dass damit eigentlich jeder Prozente schnell ausrechnen können müsste.
Prozente ausrzurechnen ist nämlich überhaupt nicht schwierig – wenn man es sich nur einmal tatsächlich überlegt, wie es funktioniert.

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Lasst mich wissen, wie ihr die Erklärung findet :)

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