Monthly Archives: Juni 2010

Verrückte Welt oder Wunderland – oder beides?

Veröffentlicht am von in Tipps und Tricks | 4 Kommentare

Man denkt ja immer, die Mathematik sei logisch. Dabei gilt es zu beachten, dass Logik nicht unbedingt etwas mit gesundem Menschenverstand zu tun hat. Und das ist auch gut so – niemand wollte einen nur logisch denkenden Menschen. Aber nur logisch ist die Mathematik auch nicht – und das mag vielen neu erscheinen. Sie ist wie eine kleine (oder große) Phantasiewelt, in der alles möglich ist.
Hier also ein paar Exkurse ins Wunderland, mit dem ich mich gerade vertraut mache:

Ich finde es immer wieder amüsant manchen Verwandten zu erklären, dass es tatsächlich parallele Geraden gibt, die sich doch tatsächlich entgegen jeder Erwartung schneiden. Unter bestimmten Bedingungen schneiden sie sich wirklich, obwohl zumindest in der Schule parallele Geraden meistens dadurch klassifiziert werden, dass sie sich eben nicht schneiden. Oder plötzlich schneiden sich Diagonalen eines Parallelogramms auf einmal nicht mehr, die sich zumindest in der Schule immer schneiden würden.

Wo schneiden sich Parallelen? Im Unendlichen bzw. mathematischer gesprochen, schneiden sich parallele Geraden immer in einer projektiven Ebene – dort  haben je zwei Geraden immer! einen Schnittpunkt. Noch genauer, würde man sagen, dass sie sich auf der Ferngeraden einer projektiven Ebene schneiden. Einzusehen ist dieser projektive/im Unendlichen liegende Schnittpunkt ja eigentlich schon: Betrachtet man einmal zwei parallel verlaufende Eisenbahnschienen, die bis in den Horzont hinein immer gerade aus gehen, dann erscheint es für das Auge auch so, als ob sie sich da ganz weit hinten schneiden würden.

Parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen.

So etwas verwirrt vielleicht manchen Schüler, aber das sollte eigentlich kein Grund sein, es nicht auch einmal anzusprechen – im Gegenteil. Meistens verankert sich doch Merkwürdiges umso besser im Gehirn. Warum hieße es sonst wohl merk-würdig?

Wann sich Diagonalen eines Parallelogramms nicht schneiden, ist schon schwerer zu erklären – zumindest wenn man schon einmal davon ausgeht, dass nicht jeder weiß, was ein Parallelogramm ist. Also, ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind – hier werden die Paralleln vorher abgeschnitten, bevor sie sich im Unendlichen schneiden können ;)

Ein Parallelogramm mit Diagonalenschnittpunkt.

Die anderen vier Schnitttpunkte sind da interessanter. Denn die gibt es wenigstens – ganz im Gegenteil zu dem Diagonalenschnittpunkt. Zumindest kommt der unter bestimmten Bedinungen nicht vor. Beispielsweise wenn man sich in einem Körper der Charakteristik≠2 befindet – dort gibt es kein 1/2 (da hier 2=0 ist und durch Null darf man ja bekanntlich nicht teilen). Dadurch, dass es kein 1/2 gibt, können sich die Diagonalen eines Parallelogramms nicht wie gewöhnlich in der Mitte halbieren – also schneiden sie sich nicht.

Ein anderes – meiner Meinung nach abstrakteres, aber auch anschaulicheres Beispiel wäre die kleinste affine Ebene. Diese besteht nur aus 4 Punkten und die Geraden in dieser Ebene, sehen Gerden eigentlich kaum mehr ähnlich, sondern sehen eher wie Blöcke aus.

Die kleinste affine Ebene.

Die Gerade/Blöcke, die die Diagonalen darstellen, schneiden sich nicht in der Mitte, da die Ebene, in der sie sich befinden, wie gesagt, nur aus 4 Punkten besteht. Der Diagonalenschnittpunkt wäre der 5. Punkt und den gibt es nicht, also schneiden sie sich nicht.

Die kleinste affine Ebene in Kurzdarstellung.

Und nun noch etwas lustiges zum Schluss:

Es gibt auch Geraden, die aussehen, als würden sie sich schneiden, in Wirklichkeit aber parallel sind. Dieser Fall lässt sich in der hyperbolischen Ebenen beobachten.

Die hyperbolische Ebene.

Man stellt sie sich als eine Art Kreisscheibe vor, deren Rand fehlt. Die Geraden die in dieser Ebene keinen Schnittpunkt haben, sind parallel, obwohl sie sich vielleicht schneiden würden, wenn man sie über den Kreis hinaus weiter zeichen würde. Da die hyperbolische Ebene aber noch vor dem Rand des Kreises endet, schneiden sich die Geraden, die sich in dem Kreis nicht schneiden, nie.

Hyperbolische Ebene mit Erklärungen, welche Geraden parallel sind.

Nun ist es an euch zu entscheiden:
Ist die Mathematik eine verrückte Welt oder doch eher ein Wunderland?

Lipton Tee

Veröffentlicht am von in Rezensionen | 9 Kommentare

Ich entdecke gerade Tee neu für mich :)
Bei vielen Teesorten habe ich die Erfahrung gemacht, dass sie entweder wie Wasser mit Aroma schmecken oder teilweise – das gilt vor allem für Grünen Tee – eine Art fischigen Geschmack aufweisen. Von den bisherigen Teesorten war ich also nicht gerade begeistert und trank sie eigentlich nur dann, wenn mir kalt war und ich weder Kaffee noch Kaba trinken wollte. Naja und dann ist heißes Wasser mit Aroma immer noch besser als nur heißes Wasser ;)

Durch einen heißen Tipp ;) kamen wir vor Kurzem in den Genuss von Liptons Teesorten und eine der besten Sorten überhaupt ist meiner Meinung nach der Grüne Tee von Lipton mit Minze. Ich weiß nicht wo es ihn in Deutschland gibt. Wir haben ihn – wie so vieles was man nicht gleich findet – übers Internet bestellt ;) Dort steht dann auch, dass Lipton Tee in Deutschland eigentlich nicht vertreibt, sondern nur Eistee, da Teekanne wohl ein zu starkes Monopol hat und sich Lipton und sein Tee nicht durchsetzen konnten – zumindest nicht mit den erwünschten Veraufszahlen.

Aus der Packung genommen, ist er dann noch einmal extra in einen Beutel eingeschweißt. Ich kenne auch Lipton-Tees, die dann direkt in einem kleinen dreieckigen Säckchen in der Packung liegen – das finde ich um einiges umweltfreundlicher und der Tee landet auch schneller in der Tasse, weil man nicht erst den Beutel aufmachen muss ;)

Er schmeckt eigentlich wie Pfefferminztee, aber irgendwie etwas handfester – naja eben wie Pfefferminztee mit Grünem Tee – also einfach genauso wie er auch schmecken soll, ohne böse Überraschungen. Da grüner Tee drin ist, wird man davon genauso wach wie von Kaffee – für mich bedeutet das, dass ich überhaupt wacher werde, denn Kaffee hat bei mir ja bekanntlich eher den gegenteiligen Effekt ;) Die Tasse ist übrigens eine meiner Lieblingstassen – wegen dem schönen Sprüchlein ;)

PS: So sehen übrigens diese kleinen Säckchen anderer Teesorten aus: